Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（-1，4），AB邊上的中垂線方程為x+7y-2=0，∠C的平分線所在的直線方程為x-2y+4=0．
（1）求頂點(diǎn)B，C坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作直線l與圓x²+y²=4交于M，N兩點(diǎn)，求MN的中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)B（s，t），由A（-1，4），AB邊上的中垂線方程為x+7y-2=0，由中垂線的性質(zhì)可知：AB的中點(diǎn)在中垂線上，且直線AB的斜率與中垂線的斜率乘積為-1，即可得出．先求出點(diǎn)B（-2，-3）關(guān)于直線x-2y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)B′（a，b）．同理可得．進(jìn)而點(diǎn)到直線AB′（即AC）的方程，與∠C的平分線方程聯(lián)立即可解出C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)MN的中點(diǎn)P（x，y），由垂經(jīng)定理可知：OP⊥l，可得k_OP•k_l=-1，（x≠0，6）．化為(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

．可知：MN的中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

在圓x²+y²=4內(nèi)部的圓弧部分（包括（0，0））．

解答： 解：（1）設(shè)B（s，t），∵A（-1，4），AB邊上的中垂線方程為x+7y-2=0，
∴

t-4 s+1 ×(- 1 7 )=-1 s-1 2 +7× t+4 2 -2=0

，解得

s=-2 t=-3

，∴B（-2，-3）．
先求出點(diǎn)B（-2，-3）關(guān)于直線x-2y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)B′（a，b）．
∵

-2+a 2 -2× b-3 2 +4=0 b+3 a+2 × 1 2 =-1

，解得

a=- 26 5 b= 17 5

，∴B′(-

26

5

，

17

5

)．
∴kAB′=

4- 17 5

-1+ 26 5

=

1

7

∴直線AB′（即AC）的方程為：y-4=

1

7

(x+1)，化為x-7y+29=0．
聯(lián)立

x-2y+4=0 x-7y+29=0

解得

x=6 y=5

，∴C（6，5）．
（2）設(shè)MN的中點(diǎn)P（x，y），
由垂經(jīng)定理可知：OP⊥l，
∴k_OP•k_l=

y

x

×

y-5

x-6

=-1，（x≠0，6）．
化為(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

．
可知：MN的中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓(x-3)2+(y-

5

2

)2=

61

4

在圓x²+y²=4內(nèi)部的圓弧部分（包括（0，0））．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、對(duì)稱點(diǎn)的求法、垂經(jīng)定理、圓的軌跡方程，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．