Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y=3x-e．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1都成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（e）=3得a，從而可得f′（x）=lnx+2，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1都成立，等價(jià)于k＜[

f(x)

x-1

]min，利用導(dǎo)數(shù)可表示[

f(x)

x-1

]min；

解答： 解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，
∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，
由f′（x）＞0得x＞

1

e2

，由f′（x）＜0得0＜x＜

1

e2

．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

e2

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

e2

，+∞）．
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，令g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，則g′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，
設(shè)h（x）=x-2-lnx，則h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴?x₀∈（3，4），且h（x₀）=0，
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（x₀）=

x0+x0lnx0

x0-1

，
∵h(yuǎn)（x₀）=x₀-2-lnx₀=0，
∴x₀-1=1+lnx₀，g（x₀）=x₀，
∴k＜x₀∈（3，4），∴k的最大值為3．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題時(shí)合理構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．