Question

17．已知角θ∈（0，2π），關(guān)于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$-1）x+m=0的兩根為sinθ，cosθ．
（1）求m的值；
（2）求方程的兩根及此時θ的值．

Answer 1

分析 （1）由sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$、sinθcosθ=$\frac{m}{2}$以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得 1+m=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，由此解得m的值．
（2）由以上可得，sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$、sinθcosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即可解得sinθ 和cosθ 的值，從而求得故此時方程的兩個根及θ的值．

解答 解：（1）由sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$、sinθcosθ=$\frac{m}{2}$，
∴sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）²，即 1+m=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
解得 m=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由以上可得，sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$、sinθcosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
解得 sinθ=-$\frac{1}{2}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$； 或者 sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=-$\frac{1}{2}$．
∵θ∈（0，2π），
∴θ=$\frac{11π}{6}$或$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．