Question

9．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°
（1）求AC的長；
（2）證明：BC⊥PC；
（3）若PA=AB，求PC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用余弦定理能求出AC．
（2）首先利用中點(diǎn)得到△BCE為正三角形，進(jìn)一步利用勾股定理的逆定理得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理證得：線面垂直．最后轉(zhuǎn)化成面面垂直．
（3）首先作出直線與平面的夾角的平面角，進(jìn)一步利用解直角三角形知識(shí)求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，
AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2×AB×BC×cos60°}$
=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$
=$\sqrt{3}$．
證明：（2）取AB的中點(diǎn)，連接CE，則由題意知：△BCE為正三角形，
∵∠ABC=60°，
∴由等腰梯形知：∠BCD=120°，∵AD=CD=BC=1，AB=4，BD=AC=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAD，且BC?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAD．
解：（3）在平面ABCD中，過點(diǎn)C作CH∥BD交AD的延長線于點(diǎn)H，
由（2）知：BD⊥平面PAD，∴CH⊥平面PAD，
連接PH，則∠CPH即為PC與平面PAD所成角．
在Rt△CHD中，CD=1，∠CDH=60°，
∴CH=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，在Rt△PHC中，PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴在Rt△PHC中，sin∠CPH=$\frac{CH}{PC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴直線PC與平面PAD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：勾股定理逆定理的應(yīng)用，現(xiàn)面向垂直的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，線面的夾角的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的空間想象能力和應(yīng)用能力．