【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，.數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

【答案】(1)；(2)；(3)證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)的關(guān)系，即可容易求得.

（2）由遞推公式，進(jìn)行下標(biāo)的縮減，即可求得；

（3）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得，利用導(dǎo)數(shù)即可由函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)行證明.

（1）因?yàn)?/span>，

故當(dāng)時(shí)，，

故可得；

又因?yàn)?/span>，，解得.

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

則.

（2）因?yàn)?/span>，①

故可得當(dāng)時(shí)，

兩邊同乘以，

則②

①②可得：，則.

又當(dāng)時(shí)，，故可得，

故.

（3）由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

故可得；

又因?yàn)?/span>，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，

故可得，

又.

令，，

因為單調(diào)增函數(shù)，且，

故存在，使得，

故當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，

故存在，使得，

故當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，

故可得，當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)時(shí)，，

即.

故，即證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)隨機(jī)選取了名男生，將他們的身高作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖中數(shù)據(jù)，完成下列問題．

（Ⅰ）求的值及樣本中男生身高在（單位: ）的人數(shù)；

（Ⅱ）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，通過樣本估計(jì)該校全體男生的平均身高；

（Ⅲ）在樣本中，從身高在和（單位: ）內(nèi)的男生中任選兩人，求這兩人的身高都不低于的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于函數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使成立，則稱為關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)，時(shí)，求關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有關(guān)于參數(shù)兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上存在兩個(gè)關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，試求參數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.

（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列；

（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？

（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日

溫差（℃）

10

11

13

12

9

發(fā)芽數(shù)（顆）

23

25

30

26

16

（1）從3月1日至3月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為，，求事件“”的概率；

（2）該小組發(fā)現(xiàn)種子的發(fā)芽數(shù)（顆）與晝夜溫差（℃）呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：線性回歸方程.

（參考公式：線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式，.其中，表示樣本均值.

參考數(shù)據(jù)：；）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著手機(jī)的普及，大學(xué)生迷戀手機(jī)的現(xiàn)象非常嚴(yán)重.為了調(diào)查雙休日大學(xué)生使用手機(jī)的時(shí)間，某機(jī)構(gòu)采用不記名方式隨機(jī)調(diào)查了使用手機(jī)時(shí)間不超過10小時(shí)的50名大學(xué)生，將50人使用手機(jī)的時(shí)間分成5組：，，，，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到下表，根據(jù)數(shù)據(jù)完成下列問題：

使用時(shí)間/時(shí)

大學(xué)生/人

5

10

15

12

8

（1）完成頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)大學(xué)生使用手機(jī)時(shí)間的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

（2）用分層抽樣的方法從使用手機(jī)時(shí)間在區(qū)間，，的大學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人取自不同使用時(shí)間區(qū)間的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率都是，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊次至多擊中次的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定、表示沒有擊中目標(biāo)，、、、、、、、表示擊中目標(biāo)，因?yàn)樯鋼?/span>次，故以每個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊次的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：

5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281

據(jù)此估計(jì)，射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至多擊中3次的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《朗讀者》是一檔文化情感類節(jié)目，以個(gè)人成長(zhǎng)、情感體驗(yàn)、背景故事與傳世佳作相結(jié)合的方式，選用精美的文字，用最平實(shí)的情感讀出文字背后的價(jià)值，深受人們的喜愛.為了了解人們對(duì)該節(jié)目的喜愛程度，某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了，兩個(gè)城市各100名觀眾，得到下面的列聯(lián)表.

非常喜愛

喜愛

合計(jì)

城市

60

100

城市

30

合計(jì)

200

完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所處的城市有關(guān)？

附參考公式和數(shù)據(jù)：（其中）.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，，當(dāng)時(shí)，.

(1)判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；

(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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