Question

已知函數(shù)f（x）=x²•e^ax（a為小于0的常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）存在x∈[1，2]使不等式f（x）≥

4

e4

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）f'（x）=e^ax（ax²+2x），令f'（x）=0，得x=0或x=-

2

a

．對(duì)a分類討論：-

2

a

≥2時(shí)，即-1≤a＜0時(shí)；當(dāng)1＜-

2

a

＜2時(shí)，即-2＜a＜-1時(shí)；當(dāng)-

2

a

≤1時(shí)，即a≤-2時(shí)．分別研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：f'（x）=e^ax（ax²+2x）
（Ⅰ） 當(dāng)a=-1時(shí)，f'（x）=e^-x（-x²+2x）=-e^-x•x（x-2），
令f'（x）=0，得x=0或x=2．
由f′（x）＞0，解得0＜x＜2；由f′（x）＜0，解得2＜x或x＜0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），遞減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
（Ⅱ） f'（x）=e^ax（ax²+2x），令f'（x）=0，得x=0或x=-

2

a

（1）當(dāng)-

2

a

≥2時(shí)，即-1≤a＜0時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
則f(x)max=f(2)=4e2a≥

4

e4

，解得a≥-2，
∴-1≤a＜0滿足題意．
（2）當(dāng)1＜-

2

a

＜2時(shí)，即-2＜a＜-1時(shí)，f（x）在[1，-

2

a

]上單調(diào)遞增，[-

2

a

，2]上單調(diào)遞減，
故f(x)max=f(-

2

a

)=e-2•

4

a2

≥

4

e4

，解得-e≤a≤e，
∴當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)滿足題意．
（3）當(dāng)-

2

a

≤1時(shí)，即a≤-2時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
故f(x)max=f(1)=ea≥

4

e4

，解得a≥ln4-4，∴l(xiāng)n4-4≤a≤-2時(shí)滿足題意
綜上所述，a∈[ln4-4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．