Question

【題目】(A)在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))， 是曲線上的動點， 為線段的中點，設(shè)點的軌跡為曲線.

(1)求的坐標(biāo)方程；

(2)若射線與曲線異于極點的交點為，與曲線異于極點的交點為，求.

(B)設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時，求不等式的解集；

(2)對任意， 不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(A) (1) (為參數(shù))，(2)

(B) (1) ；(2) .

【解析】試題分析：

A

(1)結(jié)合題意可得的極坐標(biāo)方程是 (為參數(shù))，

(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，結(jié)合極徑的定義可得

B

(1)由題意零點分段可得不等式的解集是；

(2)由恒成立的條件得到關(guān)于實數(shù)a的不等式組，求解不等式可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

(A)解：(1)設(shè)，則由條件知，由于點在曲線上，

所以，即，

從而的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，

化為普通方程即，

將， 所以曲線后得到

極坐標(biāo)方程為.

(2)曲線的極坐標(biāo)方程為，

當(dāng)時，代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，

即，解得或，

所以射線與的交點的極徑為，

曲線的極坐標(biāo)方程為.

同理可得射線與的交點的極徑為.

所以.

(B)解：(1)當(dāng)時，

由解得.

(2)因為且.

所以只需，解得.