已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1+2a2=1,a32=4a2a6
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Sn
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,通過(guò)解方程組可求得a1與q,從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Sn
解答: 解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由
a
2
3
=4a2a6
a
2
3
=4
a
2
4
,所以q2=
1
4

由條件可知q>0,故q=
1
2

a1+2a2=1⇒a1+2a1•q=1⇒a1=
1
2

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1=
1
2n

(Ⅱ)bn=log2an=log2(
1
2
)n=-n
,故anbn=-n•(
1
2
)n

從而Sn=a1•b1+a2•b2+…+an-1•bn-1+an•bn=-[1•
1
2
+2•(
1
2
)2+…+(n-1)•(
1
2
)n-1+n•(
1
2
)n]

1
2
Sn=-[1•(
1
2
)2+2•(
1
2
)3+…+(n-1)•(
1
2
)n+n•(
1
2
)n+1]

兩式相減得
1
2
Sn=-[
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-n•(
1
2
)n+1]
=-
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
+n•(
1
2
)n+1=
n+2
2
•(
1
2
)n-
1
2

所以數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Sn=(n+2)•(
1
2
)n-1
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的求和,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

當(dāng)x∈R,|x|<1時(shí),有如下表達(dá)式:1+x+x2+…+xn+…=
1
1-x
,兩邊同時(shí)積分得:
1
2
0
ldx+
1
2
0
xdx+
1
2
0
x2dx+…+
1
2
0
xndx+…=
1
2
0
1
1-x
dx,從而得到如下等式:1×
1
2
+
1
2
×
1
2
2+
1
3
×(
1
2
3+…+
1
n+1
×(
1
2
n+1+…=ln2,請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,計(jì)算:C
 
0
n
×
1
2
+
1
2
C
 
1
n
×(
1
2
2+
1
3
C
2
n
×(
1
2
3+…+
1
n+1
C
n
n
×(
1
2
n+1=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,直線x-y+
2
2
=0與以原點(diǎn)O為圓心,以橢圓的離心率e為半徑的圓相切.
(1)求該橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).記△GFD的面積為S1,△OED的面積為S2.試問(wèn):是否存在直線AB,使得S1=S2?說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=4,公比q≠1的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,且4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列.
(1)求公比q的值;
(2)求Tn=a2+a4+…+a2n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直三棱柱ABC-A1B1C1的直觀圖(圖1)及三視圖(圖2)如圖所示,D為AC的中點(diǎn)
(1)求證:AB1∥平面BDC1
(2)求證:BD⊥AC1
(3)求直三棱柱的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn),已知AB=2,AD=2
2
,PA=2,
(1)求PC與平面ABCD所成角的大;
(2)求三棱錐P-ABE的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(3,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為5.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M滿足|
MF
|=1且
MP
MF
=0,求|
PM
|的最小值;
(3)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1、A2,點(diǎn)Q是橢圓上異于A1、A2的任一點(diǎn),直線QA1、QA2分別于x軸交于點(diǎn)D、E,若直線OT與過(guò)點(diǎn)D、E的圓相切,切點(diǎn)為T,試探究線段OT的長(zhǎng)是否為定值?若是定值,求出該定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).
(1)求證:D1F⊥平面ADE;
(2)若AB=1,求三棱錐D1-DEF的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知ex>xm對(duì)任意x∈(1,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 

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