Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直觀圖（圖1）及三視圖（圖2）如圖所示，D為AC的中點(diǎn)
（1）求證：AB₁∥平面BDC₁
（2）求證：BD⊥AC₁
（3）求直三棱柱的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取A₁C₁中點(diǎn)O，連接OB₁，AO，由已知條件推導(dǎo)出BD∥OB₁，從而平面AOB₁∥平面BDC₁，由此能證明AB₁∥平面BDC₁．
（2）由線面垂直得A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁，從而BC₁⊥平面A₁B₁C，進(jìn)而BC₁⊥A₁C，由等腰直角三角形性質(zhì)得BD⊥AC，由此能證明BD⊥AC₁．
（3）直三棱柱的高為2，底面是直角邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，由此能求出其體積．

解答： （1）證明：取A₁C₁中點(diǎn)O，連接OB₁，AO，
∵D為AC的中點(diǎn)，∴四邊形DAOC₁為平行四邊形，
∴AO∥C₁D，又四邊形BDOB₁為平行四邊形，
∴BD∥OB₁，∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁?平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
（2）證明：∵由三視圖知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，∴BC₁⊥A₁C；
∵由側(cè)視圖知△ABC為等腰直角三角形，D為AC的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁．
（3）解：由三視圖知：直三棱柱的高為2，
底面是直角邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴體積V=

1

2

×2×2×2=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定，線線垂直的判定，考查了棱柱的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算能力．