設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線l過F且與拋物線C交于M、N兩點，已知直線l與x軸垂直時，△OMN的面積為2（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）問是否存在直線l，使得以M、N為對角線的正方形的第三個頂點恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）直線l與x軸垂直時，|MN|=2p，利用△OMN的面積為2，求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求出線段MN的垂直平分線，可得P的坐標(biāo)，利用
PM
•
PN
=0，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）直線l與x軸垂直時，|MN|=2p，
∵△OMN的面積為2，
∴
1
2
•2p•
p
2
=
p2
2
=2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y2=4x；
（Ⅱ）直線l與x軸垂直時，不滿足，設(shè)正方形的第三個頂點P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）
設(shè)l：y=k（x-1）（k≠0），代入y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=
2k2+4
k2
，x1x2=1，
∴MN的中點為（
k2+2
k2
，
2
k
），
∴線段MN的垂直平分線為y-
2
k
=-
1
k
（x-1-
2
k2
），
∴P（0，
3
k
+
2
k3
），
∵
PM
•
PN
=0，
∴x1x2+（y1-y0）（y2-y0）=0，
∴1-4-y0•
4
k
+y02=0，
由y0=
3
k
+
2
k3
代入，可得（3k4-4）（k2+1）=0，
∴k=±
4
3
，
∴存在直線l：y=±
4
3
（x-1）．
點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，難度中等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=1，|3
a
-
b
|=
5
．
（1）求|
a
+3
b
|的值；
（2）求3
a
-
b
與
a
+3
b
夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司銷售小米、紅米、黑米三款手機(jī)，每款手機(jī)都有經(jīng)濟(jì)型和豪華型兩種型號，據(jù)統(tǒng)計2014年3月份共銷售800部手機(jī)（具體銷售情況見表）
小米手機(jī) 紅米手機(jī) 黑米手機(jī)
經(jīng)濟(jì)型 240 x y
豪華型 160 80 z
已知在銷售的800部手機(jī)中，經(jīng)濟(jì)型紅米手機(jī)銷售的頻率是0.15．
（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法在小米、紅米、黑米三款手機(jī)中抽取60部，求在黑米手機(jī)中抽取多少部？
（2）若y≥96，z≥93，求銷售的黑米手機(jī)中經(jīng)濟(jì)型比豪華型多的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=4，AC⊥BC，若D是AB中點．
（Ⅰ）求證：AC1∥平面B1CD；
（Ⅱ）求異面直線AC1和CD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ+
π
4
）=2
2
．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C2的參數(shù)方程是：
x=4t2
y=4t
(t是參數(shù)）．
（1）將曲線C1和曲線C2的方程轉(zhuǎn)化為普通方程；
（2）若曲線C1與曲線C2相交于A、B兩點，求證OA⊥OB；
（3）設(shè)直線y=kx+b與曲線C2交于兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0且a為常數(shù)），過弦PQ的中點M作平行于x軸的直線交曲線C2于點D，求證：△PQD的面積是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2
．
（1）求f（
1
2
）和f（
1
n
）+f（
n-1
n
）（n∈N*）的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明；
（3）在第（2）問的條件下，若數(shù)列{bn}滿足b1=-6，16an2-4（bn+1-bn-3）an+bn+1+2bn+2=0，試求數(shù)列{bn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=m（m+2）+（m2-4）i（i是虛數(shù)單位）：
（1）是虛數(shù)；
（2）是純虛數(shù)；
（3）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點C（1，-2），P（-5，-2），動點滿足|
QC
|=3．
（1）求動點Q的軌跡方程；
（2）求
PC
與
PQ
夾角的取值范圍；
（3）是否存在斜率為1的直線l，l被點Q的軌跡所截得的弦為AB，以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中，依據(jù)評分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于80分為優(yōu)秀，小于80分為合格．為了解學(xué)生在該維度的測評結(jié)果，從畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個班的數(shù)據(jù)，該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表．
優(yōu)秀 合格 總計
男生 6
女生 18
總計 60
已知在該班隨機(jī)抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為
1
3

（Ⅰ）請完成上面的列聯(lián)表；
（Ⅱ）能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測評結(jié)果有關(guān)系？
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

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同步練習(xí)冊答案