Question

函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

．
（1）求f（

1

2

）和f（

1

n

）+f（

n-1

n

）（n∈N^*）的值；
（2）數(shù)列{a_n}滿足：a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？請給予證明；
（3）在第（2）問的條件下，若數(shù)列{b_n}滿足b₁=-6，16a_n²-4（b_n+1-b_n-3）a_n+b_n+1+2b_n+2=0，試求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（1）用特殊值代入即可得到結(jié)論；
（2）利用倒序相加法，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得到本題結(jié)果；
（3）將題中條件變形，構(gòu)造出新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項，得到所求結(jié)果．

解答： 解：（1）∵f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=

1

2

．
∴f(

1

2

)=

1

4

．
令x=

1

n

，
得f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=

1

2

，
即f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

．
（2）an=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又an=f(1)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
兩式相加得2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．
所以an=

n+1

4

，  n∈N*，
又an+1-an=

n+1+1

4

-

n+1

4

=

1

4

．
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）由（2）知，an=

n+1

4

，
代入16

a

2 n

-4 (bn+1-bn-3)an+bn+1+2bn+2=0
整理得nb_n+1=（n+3）b_n+（n+2）（n+3）
兩邊同除以n（n+1）（n+2）（n+3），
得

bn+1

(n+1)(n+2)(n+3)

=

bn

n(n+1)(n+2)

+

1

n(n+1)

，
即有

bn+1

(n+1)(n+2)(n+3)

+

1

n+1

=

bn

n(n+1)(n+2)

+

1

n

，
∴

bn

n(n+1)(n+2)

+

1

n

=

b1

6

+1=0
∴b_n=-（n+1）（n+2）．

點評：本題考查了函數(shù)中的代數(shù)思想，還考查了數(shù)列中的倒序求和法、構(gòu)造數(shù)列法求通項．本題對學(xué)生的思維能力要求高，計算量較大，屬于難題．