Question

已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ+

π

4

）=2

2

．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C₂的參數(shù)方程是：

x=4t2 y=4t

(t是參數(shù)）．
（1）將曲線C₁和曲線C₂的方程轉(zhuǎn)化為普通方程；
（2）若曲線C₁與曲線C₂相交于A、B兩點(diǎn)，求證OA⊥OB；
（3）設(shè)直線y=kx+b與曲線C₂交于兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0且a為常數(shù)），過(guò)弦PQ的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交曲線C₂于點(diǎn)D，求證：△PQD的面積是定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法，參數(shù)方程消去參數(shù)，即可得到結(jié)論；
（2）聯(lián)立曲線C₁和曲線C₂的方程并消元，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明OA⊥OB；
（3）直線與拋物線聯(lián)立，求出PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)，D的坐標(biāo)，即可證明：△PQD的面積是定值．

解答： （1）解：曲線C₁和曲線C₂的方程轉(zhuǎn)化為普通方程為C1：x-y-4=0，C2：y2=4x；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立曲線C₁和曲線C₂的方程并消元得：y²-4y-16=0，
∴y₁+y₂=4，
∴y₁y₂=-16，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(y1+4)(y2+4)+y1y2=0，
∴OA⊥OB．
（3）證明：

y=kx+b y2=4x

，消x得ky²-4y+4b=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，
由|y₁-y₂|=a（a＞0且a為常數(shù)），得(y1+y2)2-4y1y2=a2，
∴a²k²=16（1-kb）．
又可得PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)=(

2-bk

k2

，

2

k

)，
∴點(diǎn)D(

1

k2

，

2

k

)，
∴S△PQD=

1

2

DM•|y1-y2|=

1

2

•

1-bk

k2

•a=

a3

32

．面積是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系、參數(shù)方程化成普通方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度中等．