Question

如圖，水渠的橫截面積是等腰梯形，下底及兩邊坡的總長度為a，坡AD的傾角為60°，
（1）求橫截面的面積y與下底AB的寬x之間的函數(shù)解析式；
（2）若x∈[

a

4

，

a

2

]，求y的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：常規(guī)題型

分析：（1）設(shè)出參量t，結(jié)合AD+CD+CB=3t+x=a，最后構(gòu)造出面積公式（2）由二次函數(shù)的最高次數(shù)對應(yīng)的系數(shù)是負值，配方法求函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）設(shè)AD=t，則有DE=FC=

1

2

t，
所以CD=t+x，所以有AD+CD+CB=3t+x=a，所以t=

1

3

(a-x)，
∴y=

1

2

(AB+CD)×AE=

1

2

(x+t+x)×

3

2

t=-

3

36

(5x2-4ax+a2)，x∈（0，a）．
（2）由（1）知y=-

5 3

36

(x-

2

5

a)2+

1

25

a2，可知在x∈[

a

4

，

2a

5

)上單調(diào)遞增，而在x∈[

2a

5

，

a

2

]上單調(diào)遞減，
所以ymax=

a2

25

， 此時x=

2

5

a，ymin=-

3

320

a2+

1

25

a2．

點評：本題考查了用變量表示梯形的面積，二次函數(shù)的最值，要注意開口方向，如本題中開口向下，對稱在所給的區(qū)間內(nèi)，所以在對稱軸時取最大值，在左端點處取得最大值．