Question

已知函數(shù)f（x）=(

1

3

)x．
（1）如果x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=（f（x））²-2af（x）+3的最小值y（a）；
（2）若a∈[-4，4]時(shí)，在（1）的條件下，求y（a）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)y=（f（x））²-2af（x）+3的最小值y（a）；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：令t=(

1

3

)x，∵x∈[-1，1]，
∴t∈[

1

3

，3]，則函數(shù)等價(jià)為y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，
（1）若a＜

1

3

，則函數(shù)在t∈[

1

3

，3]上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為y（a）=y（

1

3

）=

28

9

-

2a

3

，
當(dāng)

1

3

≤a≤3，函數(shù)的最小值為y（a）=3-a²，
若a＞3，則函數(shù)在t∈[

1

3

，3]上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最小值為y（a）=y（3）=12-6a．
故y（a）=

28 3 - 2a 3 a＜ 1 3 3-a2 1 3 ≤a≤3 12-6a a＞3

．
（2）作出函數(shù)y（a）的圖象，則函數(shù)y（a）在a∈[-4，4]為減函數(shù)，
當(dāng)a∈[-4，

1

3

]，則y（a）∈（f（

1

3

），f（-4）]，
即y（a）∈（

82

9

，12]，
當(dāng)a∈[

1

3

，3]，則y（a）∈[f（3），f（

1

3

）]，
即y（a）∈[-6，

26

9

]，
當(dāng)a∈（3，4]，則y（a）∈[f（4），f（3）），
即y（a）∈[-12，-6），
綜上y（a）∈[-12，

26

9

]∪（

82

9

，12]，
故函數(shù)y（a）的值域?yàn)閇-12，

26

9

]∪（

82

9

，12]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)之間的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．