Question

已知首項(xiàng)都是1的數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）滿足b_n+1=

an+1bn

an+3bn

（Ⅰ）令c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₃²=4b₂•b₆，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意得a_n+1b_n=a_n•b_n+1+3b_n•b_n+1，從而

an+1

bn+1

=

an

bn

+3，由此推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，進(jìn)而求出c_n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N^*．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，q＞0，由已知得bn=(

1

2

)n-1，n∈N^*，從而a_n=c_nb_n=(3n-2)×(

1

2

)n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得a_n+1b_n=a_n•b_n+1+3b_n•b_n+1，
兩邊同時(shí)除以b_nb_n+1，得

an+1

bn+1

=

an

bn

+3，
又c_n=

an

bn

，
∴c_n+1-c_n=3，
又c1=

a1

b1

=1，
∴數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴c_n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N^*．

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，q＞0，
∵b32=4b2•b6，
∴b12q4=4b12•q6，
整理，得q2=

1

4

，∴q=

1

2

，又b₁=1，
∴bn=(

1

2

)n-1，n∈N^*，
a_n=c_nb_n=(3n-2)×(

1

2

)n-1，
∴S_n=1×(

1

2

)0+4×(

1

2

)+7×(

1

2

)2+…+(3n-2)×(

1

2

)n-1，①
∴

1

2

Sn=1×

1

2

+4×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+(3n-2)×(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Sn=1+3×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+3×(

1

2

)n-1-（3n-2）×(

1

2

)n
=1+3[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（3n-2）×(

1

2

)n
=1+3[1-(

1

2

)n-1]-(3n-2)×(

1

2

)n
=4-（6+3n-2）×(

1

2

)n
=4-（3n+4）×（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=8-（6n+8）×(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．