Question

若關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，且函數(shù)y=ax³+mx²+x+

c

2

在區(qū)間(

1

2

，1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A、（-2，-

  3

  ）
• B、[-2，-

  3

  ]
• C、（-∞，-2）∪（

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-2]∪[-

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,一元二次不等式的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，求出a，c可得函數(shù)解析式，利用函數(shù)y=ax³+mx²+x+

c

2

在區(qū)間(

1

2

，1)上不是單調(diào)函數(shù)，可得y′=3x²+2mx+m=0（*）在區(qū)間(

1

2

，1)上有解，且不是重解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，
∴

-2+1=-a (-2)•1=-c

，
∴a=1，c=2，
∴y=ax³+mx²+x+

c

2

=x³+mx²+x+1，
∴y′=3x²+2mx+1
∵函數(shù)y=ax³+mx²+x+

c

2

在區(qū)間(

1

2

，1)上不是單調(diào)函數(shù)，
∴y′=3x²+2mx+m=0（*）在區(qū)間(

1

2

，1)上有解，且不是重解．
由3x²+2mx+m=0可得2m=-3x-

1

x

令f（x）=-3x-

1

x

，

1

2

＜x＜1
f'（x）=-3+

1

x2

，令f'（x）=0得：x=

3

3

，
x∈（

1

2

，

3

3

）時，f'（x）＞0，f（x）遞增
x∈（

3

3

，1）時，f'（x）＜0，f（x）遞減
∴f（x）_max=f（

3

3

）=-2

3

∵f（1）=-4，f（

1

2

）=-

7

2

∴f（x）的值域為（-4，-2

3

]
∴2m∈（-4，-2

3

]
∴m∈（-2，-

3

]
但當(dāng)m=-

3

時，（*）中△=0，有2個相等的根，不合題意
∴m的范圍是（-2，-

3

）．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域是關(guān)鍵．