Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx的極值點(diǎn)為x=﹣ 和x=1
（1）求b，c的值與f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）當(dāng)x∈[﹣1，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+bx2+cx，

∴f'（x）=3x2+2bx+c，

∵f（x）的極值點(diǎn)為x=﹣ 和x=1

∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（- ）= ﹣ b+c=0，

解得，b= ，c=﹣2，

∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），

當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，解得x＜﹣ ，或x＞1，

當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，解得﹣ ＜x＜1，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣ ，1）

（2）解：有（1）知f（x）=x3﹣ x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，

故函數(shù)在[﹣1，﹣ ）和（1，2]單調(diào)遞增增，在（﹣ ，1）單調(diào)遞減，

當(dāng)x=﹣ ，函數(shù)有極大值，f（- ）= ，f（2）=2，

所以函數(shù)的最大值為2，

所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]時(shí)恒成立，

故m＞2

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（2，+∞）

【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令f'（1）=0，f'（- ）=0可求出b，c的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可．（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[﹣1，2]上的最大值，繼而求出m的范圍
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．