Question

設數(shù)列{a_n}滿足2n²-（λ+a_n）n+

3

2

a_n=0（λ∈R，n∈N^*）；等比數(shù)列{b_n}的首項為b₁=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3b₃是8b₁與b₅的等差中項．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）試確定λ的值，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）當{a_n}為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)k，在b_k與b_k+1之間插入a_k個2，得到一個新數(shù)列{c_n}．設T_n是數(shù)列{c_n} 的前n項和，試求滿足T_m=2c_m+1的所有正整數(shù)m．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用等差數(shù)列的性質和等比數(shù)列的通項公式，即可求出公比，得到通項公式；
（2）由條件結合等差數(shù)列的性質，得到方程，解出λ，檢驗即可；
（3）由（1），（2），知b_n=2ⁿ，a_k=2k，由已知寫出c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，討論m=1，2，m≥3，求出T_m，2c_m+1，列出方程，整理，并討論方程的解，從而得到結論．

解答： 解：（1）由題意6b₃=8b₁+b₅，則6q²=8+q⁴，解得q²=4或2，
由于q為正整數(shù)，則q=2，
又b₁=2，∴b_n=2ⁿ；
（2）由數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}滿足2n²-（λ+a_n）n+

3

2

a_n=0（λ∈R，n∈N^*）；
分別代入n=1，2，3，又a₁+a₃=2a₂，得2λ-4+12-2λ=2（16-4λ），
得λ=3，而當λ=3時，a_n=2n，
由a_n+1-a_n=2（常數(shù)）知此時數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
故λ=3．
（3）由（1），（2），知b_n=2ⁿ，a_k=2k，
由題意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，
則當m=1時，T₁≠2c₂，不合題意，當m=2時，T₂=2c₃，適合題意．
當m≥3時，若c_m+1=2，則T_m≠2c_m+1一定不適合題意，
從而c_m+1必是數(shù)列{b_n}中的某一項b_k+1，
則T_m=b₁+2+2+b₂+2+2+2+2+b₃+2+…+2+b₄+2+…+b₅+2+…+b₆+…+b_k-1+2+…+b_k，
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（2+4+…+2k）
=2×（2^k-1）+k（2+2k）=2^k+1+2k²+2k-2，
又2c_m+1=2b_k+1=2×2^k+1，
∴2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，∴2^k+1=k²+k，
∵2^k+1為奇數(shù)，k²+k=k（k+1）為偶數(shù)，∴上式無解．
即當m≥3時，T_m≠2c_m+1，
綜上知，滿足題意的正整數(shù)只有m=2．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項和求和，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，同時考查邏輯推理能力，屬于綜合題．