Question

【題目】如圖所示，已知多面體的直觀圖（圖1）和它的三視圖（圖2），

（1）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，證明見解析，；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)三視圖中的線段長度，判斷交點(diǎn)的位置，取靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，進(jìn)行分析證明并求比值；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量的余弦值計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）連接，取靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，連接，

根據(jù)三視圖可知，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面，故存在滿足條件且為靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，

此時(shí)；

（2）取為空間直角坐標(biāo)系的軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：

根據(jù)三視圖可知：，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，

因?yàn)?/span>， ，，

所以，取，所以，

所以，取，所以，

所以，

根據(jù)立體圖形可知二面角的平面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.