Question

【題目】已知數(shù)列的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)構成等差數(shù)列，是的前項和，且，.

(1)若數(shù)陣中從第3行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知，求的值；

(2)設，當時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）160；（2）或.

【解析】

試題（I）由等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1=1，S5=15．求出數(shù)列的公差后，可得數(shù)列的通項公式，結合數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，a9=16，可求出公比，進而求出a50的值；

（Ⅱ）由（1）求出Sn的表達式，利用裂項相消法求出Tn的表達式，進而將不等式恒成立問題，轉化為最值問題，利用導數(shù)法，可得答案．

試題解析：

(1)設等差數(shù)列的公差為，∵，，

∴，.

∴，

設從第3行起，每行的公比都是，且，，，.

，故是數(shù)陣中第10行的第5個數(shù).

故.

(2)∵，

∴

；

令，

則

當時，，在上為減函數(shù)，

∴為遞減數(shù)列，的最大值為.

∴不等式變?yōu)?/span>恒成立，設，，

則，即，解得或.