Question

15．已知橢圓C的兩焦點坐標(biāo)分別為（-1，0）和（1，0），并且經(jīng)過點（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同兩點A，B，問是否存在實數(shù)k使得以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點？若存在，
求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，代入已知點的坐標(biāo)，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l 的方程y=kx+2代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量垂直的充要條件，可求出滿足條件的k值．

解答 解：（I）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，a²-b²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l的方程y=kx+2代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
并整理，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．（*）
△=64k²-24（1+2k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
則x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$．
因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
于是$\frac{6（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4=0，解得k=±$\sqrt{5}$，
經(jīng)檢驗知：此時（*）式的△＞0，符合題意．
所以當(dāng)k=±$\sqrt{5}$時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，向量垂直的充要條件，難度中檔．