Question

已知正四面體ABCD的棱長為2，所有與它的四個頂點距離相等的平面截這個四面體所得截面的面積之和是
（　　）

• A、3+

  3

• B、4
• C、3
• D、

  3

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意，到正四面體ABCD四個頂點距離相等的截面分為兩類：一類是由同一頂點出發(fā)的三條棱的中點構(gòu)成的三角形截面，這樣的截面有4個；另一類是與一組相對的棱平行，且經(jīng)過其它棱的中點的四邊形截面，這樣的截面有3個．因此作出示意圖，其中E、F、G、H、I是各條棱的中點，根據(jù)題中數(shù)據(jù)分別算出△EFG與四邊形EGHI的面積，從而可得所有滿足條件的截面面積之和．

解答： 解：設(shè)E、F、G分別為AB、AC、AD的中點，連結(jié)EF、FG、GE，
則△EFG是三棱錐A-BCD的中截面，
可得平面EFG∥平面BCD，點A到平面EFG的距離等于平面EFG與平面BCD之間的距離，
∴A、B、C、D到平面EFG的距離相等，即平面EFG是到四面體ABCD四個頂點距離相等的一個平面．
正四面體ABCD中，象△EFG這樣的三角形截面共有4個．
∵正四面體ABCD的棱長為2，可得EF=FG=GE=1，
∴△EFG是邊長為1的正三角形，可得S_△EFG=

1

2

EF•FG•sin60°=

3

4

．
取CD、BC的中點H、I，連結(jié)GH、HI、IE，
∵EI、GH分別是△ABC、△ADC的中位線，
∴EI

∥

.

1

2

AC，GH

∥

.

1

2

AC，得EI

∥

.

GH，可得四邊形EGHI為平行四邊形，
又∵AC=BD且AC⊥BD，EI

∥

.

1

2

AC，HI

∥

.

1

2

BD，
∴EI=HI且EI⊥HI，可得四邊形EGHI為正方形，其邊長為

1

2

AC=1，由此可得正方形EGHI的面積S_EGHI=1．
∵BC的中點I在平面EGHI內(nèi)，∴B、C兩點到平面EGHI的距離相等．
同理可得D、C兩點到平面EGHI的距離相等，且A、B兩點到平面EGHI的距離相等．
∴A、B、C、D到平面EGHI的距離相等，可得平面EGHI是到四面體ABCD四個頂點距離相等的一個平面．
正四面體ABCD中，象四邊形EGHI這樣的正方形截面共有3個．
因此，所有滿足條件的正四面體的截面面積之和等于4S_△EFG+3S_EGHI=4×

3

4

+3×1=3+

3

．
故選：A

點評：本題給出棱長為2的正四面體，求到它的各個頂點等距離的所求截面之和．著重考查了正四面體的性質(zhì)、點到平面距離的定義、三角形面積與四邊形形面積的求法等知識，屬于中檔題．