Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分

已知函數(shù)，若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.

（1）若R且，證明：函數(shù)必有局部對稱點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析;（2） ;（3）

【解析】

試題分析：（1）由得，代入得，，得到關于的方程（），其中，由于且，所以恒成立，所以函數(shù)（）必有局部對稱點；（2）方程在區(qū)間上有解，于是；設（），， ，其中；即可求出結果.（3）， 由于，所以于是（*）在上有解,令（），所以方程（*）變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061906040649271933/SYS201506190604182588493799_DA/SYS201506190604182588493799_DA.027.png">在區(qū)間內有解，需滿足條件：

解不等式，即可求出結果.

試題解析：【解析】
（1）由得1分

代入得，，

得到關于的方程（），2分

其中，由于且，所以恒成立3分

所以函數(shù)（）必有局部對稱點。4分

（2）方程在區(qū)間上有解，于是5分

設（），，6分

7分 其中9分

所以10分

（3），11分

由于，所以13分

于是（*）在上有解14分

令（），則，15分

所以方程（*）變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061906040649271933/SYS201506190604182588493799_DA/SYS201506190604182588493799_DA.027.png">在區(qū)間內有解，需滿足條件：

16分

即，化簡得18分.

考點：1.新定義；2.恒成立問題.