Question

如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD交⊙O于點E，連接BE與AC交于點F．
（1）判斷BE是否平分∠ABC，并說明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,弦切角

專題：立體幾何

分析：（1）BE平分∠ABC．由已知中邊的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所對的圓周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量減等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得證．
（2）由（1）中的所證條件∠ABE=∠FAE，再加上兩個三角形的公共角，可證△BEA∽△AEF，利用比例線段可求EF．

解答： 解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：
證明：∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∴BE平分∠ABC；…（5分）
（2）連接EC，由（1）BE平分∠ABC，
∴E是弧AC的中點，
∴AE=EC=6，
又∠EBC=∠CAD=∠ADC，
∴ED=BD=8…（7分）
∵A、B、C、E四點共圓，
∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴

EF

EC

=

AE

ED

，
∴EF=

AE•EC

ED

=

9

2

…（10分）

點評：本題考查了圓周角定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角，角平分線的判定，還有相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．本題解題的關鍵是正確讀圖，做題時最好自己作圖以幫助理解題意．