【題目】將這個(gè)自然數(shù)隨機(jī)地排列在的正方形方格內(nèi)，對(duì)于同一行或同一列中的任意兩個(gè)數(shù)，計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的商，得到個(gè)分?jǐn)?shù).把最小的分?jǐn)?shù)稱之為這種排列的“特征值”.試求特征值的最大值.

【答案】

【解析】

首先證明：對(duì)任一排列，其特征值.

如果個(gè)自然數(shù)，，，中有兩個(gè)在某行或某列中，則.

其中，、是該行或列中的兩個(gè)數(shù)，且.

如果所有這個(gè)大數(shù)在不同的行及列中，則必與它們中的兩個(gè)數(shù)、分別在同一行、同一列中，有，

其中，為、中較小的一個(gè).

對(duì)于排列有.

事實(shí)上，在同一行的任意兩個(gè)數(shù)的差是的倍數(shù).因此，.

在第一列，可得公差為的等差數(shù)列

.

故.

當(dāng)時(shí)，上式最后一個(gè)等號(hào)成立.

在列，從小到大排列為，，，，，，，，

其中，前項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，后項(xiàng)仍是公差為的等差數(shù)列，第項(xiàng)與第項(xiàng)的差為.

于是，.

當(dāng)時(shí)，上式最后一個(gè)等號(hào)成立.

在第列，當(dāng)時(shí)，.

因此，的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）

(1)若是的極值，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間。

(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知甲、乙兩名工人在同樣條件下每天各生產(chǎn)100件產(chǎn)品，且每生產(chǎn)1件正品可獲利20元，生產(chǎn)1件次品損失30元，甲，乙兩名工人100天中出現(xiàn)次品件數(shù)的情況如表所示.

甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件

0

1

2

3

4

對(duì)應(yīng)的天數(shù)/天

40

20

20

10

10

乙每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件

0

1

2

3

對(duì)應(yīng)的天數(shù)/天

30

25

25

20

（1）將甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)記為（單位：件），日利潤(rùn)記為（單位：元），寫出與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果將統(tǒng)計(jì)的100天中產(chǎn)生次品量的頻率作為概率，記表示甲、乙兩名工人1天中各自日利潤(rùn)不少于1950元的人數(shù)之和，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地種植常規(guī)稻A和雜交稻B，常規(guī)稻A的畝產(chǎn)穩(wěn)定為500公斤，今年單價(jià)為3.50元／公斤，估計(jì)明年單價(jià)不變的可能性為10%，變?yōu)?.60元／公斤的可能性為60%，變?yōu)?.70元／公斤的可能性為30%．統(tǒng)計(jì)雜交稻B的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)，得到畝產(chǎn)的頻率分布直方圖如下；統(tǒng)計(jì)近10年來(lái)雜交稻B的單價(jià)（單位：元/公斤）與種植畝數(shù)（單位：萬(wàn)畝）的關(guān)系，得到的10組數(shù)據(jù)記為，并得到散點(diǎn)圖如下，參考數(shù)據(jù)見下．

（1）估計(jì)明年常規(guī)稻A的單價(jià)平均值；

（2）在頻率分布直方圖中，各組的取值按中間值來(lái)計(jì)算，求雜交稻B的畝產(chǎn)平均值；以頻率作為概率，預(yù)計(jì)將來(lái)三年中至少有二年，雜交稻B的畝產(chǎn)超過765公斤的概率；

（3）判斷雜交稻B的單價(jià)y（單位：元/公斤）與種植畝數(shù)x（單位：萬(wàn)畝）是否線性相關(guān)？若相關(guān)，試根據(jù)以下的參考數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程；調(diào)查得知明年此地雜交稻B的種植畝數(shù)預(yù)計(jì)為2萬(wàn)畝．若在常規(guī)稻A和雜交稻B中選擇，明年種植哪種水稻收入更高？

統(tǒng)計(jì)參考數(shù)據(jù)：，，，，

附：線性回歸方程，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，直線，則

（1）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)________；

（2）關(guān)于的對(duì)稱直線方程________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購(gòu)物后，恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，那么他們結(jié)賬方式的可能情況有（ ）種

A. 19B. 7C. 26D. 12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．求：

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；

（Ⅱ）求圓C 的方程；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知

（I）求函數(shù)的極值；

（II）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

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