Question

如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC∩BD=0，且AB=BC=BD=6，BM=MC，將四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，且DM=3

2

．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅱ）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明OD⊥OM．OD⊥AC．OM∩AC=O，證明OD⊥平面ABC，然后證明平面ABC⊥平面MDO．
（Ⅱ）根據(jù)三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積，由（Ⅰ）知，OD⊥平面ABC，則OD=3為三棱錐D-ABM的高，最后根據(jù)三棱錐的體積公式解之即可．

解答： （Ⅰ）證明：由題意，OM=OD=3，
因?yàn)镈M=3

2

，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．
又因?yàn)榱庑蜛BCD，所以O(shè)D⊥AC．
因?yàn)镺M∩AC=O，
所以O(shè)D⊥平面ABC，
因?yàn)镺D?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅱ）解：三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．
由（Ⅰ）知，OD⊥平面ABC，
所以O(shè)D=3為三棱錐D-ABM的高．
△ABM的面積為

1

2

BA×BM×sin120°=

1

2

×6×3×

3

2

=

9 3

2

，
所求體積等于

1

3

S_△ABM×OD=

9 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面平行的判定，考查基本知識(shí)的靈活運(yùn)用，邏輯推理能力與計(jì)算能力．