Question

在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相同單位長度．已知曲線C：ρ=a（a＞0），過點P（0，2）的直線l的參數(shù)方程為

x= t 2 y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C與直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=2x y′=y

得到曲線C′，若直線l與曲線C′相切，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系：ρ²=x²+y²，進行代換即得．
（Ⅱ）確定曲線C′，與直線l聯(lián)立，利用△=0，即可求實數(shù)a的值．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C：ρ=a（a＞0），直角坐標方程為曲線C：x²+y²=a²，
過點P（0，2）的直線l的參數(shù)方程為

x= t 2 y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），普通方程為直線l：y=

3

x+2．…..…．…（5分）
（Ⅱ）

x′=2x y′=y

，即

x= x′ 2 y=y′

，代入

x′2

4

+y′2=a²，即

x2

4

+y2=a²，
與直線l聯(lián)立，消去y，得13x²+16

3

x+16-4a²=0，
由△=0知，a²=

4

13

，∴a=

2 13

13

．…．…（10分）

點評：本題考查了極坐標、直角坐標方程、及參數(shù)方程的互化，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．