Question

8．函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且f（1）=-2，則f（-1）=4．

Answer 1

分析 方法一：直接賦值求解，先令x=y=0得f（0）=1，再令x=1，y=-1得f（-1）；
方法二：運(yùn)用奇偶性求解，可先證函數(shù)f（x）-1為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：方法一：直接賦值求解
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）-1，解得f（0）=1，
再令x=1，y=-1代入得，f（0）=f（1）+f（-1）-1，
所以，f（-1）=2-f（1）=4；
方法二：運(yùn)用奇偶性求解
一般地，若f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，則f（x）-1為奇函數(shù)．
證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴f（x+y）-1=[f（x）-1]+[f（y）-1]，
構(gòu)造函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）-1，則上式可化為，F(xiàn)（x+y）=F（x）+F（y），
顯然，F(xiàn)（x）為R上的奇函數(shù)，即y=f（x）-1為R上的奇函數(shù)．
因而，F(xiàn)（1）+F（-1）=0，即f（1）-1+f（-1）-1=0，解得f（-1）=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，涉及抽象函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)值的確定，屬于中檔題．