Question

19．直線y=1-x交橢圓mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）于M、N兩點，弦MN的中點為P，O為坐標原點，若直線OP的斜率為$\frac{1}{2}$，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m+n）x²-2nx+n-1=0，△＞0，利用中點坐標公式及其根與系數(shù)的關(guān)系可得：n=2m．由于以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁•y₂=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=2，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}={x}_{0}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}={y}_{0}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1-x}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（m+n）x²-2nx+n-1=0，
△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0，解得m+n-mn＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{2n}{m+n}$，x₁x₂=$\frac{n-1}{m+n}$．
∴x₀=$\frac{n}{m+n}$，y₀=1-x₀=$\frac{m}{m+n}$，
∴$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，即n=2m．
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁•y₂=x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{2（n-1）}{m+n}-\frac{2n}{m+n}$+1=0，
化為m+n=2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{n=2m}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{4}{3}$．滿足△＞0．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．