Question

17．已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓（x-2）²+（y-3）²=1交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．
（1）求k的取值范圍：
（2）若x₁x₂+y₁y₂=12，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（2）由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進行求解．

解答 解：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，
設過點A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圓C的圓心C的坐標（2，3），半徑R=1．
故由$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得：k₁=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，k₂=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
故當$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，過點A（0，1）的直線與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點．
（2）設M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$•k²+k•$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$+1=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$，
由x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$=12，解得 k=1，
故直線l的方程為 y=x+1，即 x-y+1=0．
圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．
∴|MN|=2．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，以及直線和圓相交的弦長公式的計算，考查學生的計算能力．