Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點A到右焦點F₂的距離為$\sqrt{3}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）探究：當(dāng)△MF₁N的內(nèi)切圓的面積最大時，直線l的傾斜角是多少．

Answer 1

分析 （1）由于上頂點A到右焦點F₂的距離為$\sqrt{3}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）設(shè)直線l的方程為my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$，另一個方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r為△MF₁N的內(nèi)切圓的半徑），即可用m表示r，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵上頂點A到右焦點F₂的距離為$\sqrt{3}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線l的方程為my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+\sqrt{2}=x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化為（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+3}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$．
∴${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2c×$$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
另一個方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r為△MF₁N的內(nèi)切圓的半徑）．
∴2$\sqrt{3}$r=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}$，∴r²=$\frac{2（{m}^{2}+1）}{（{m}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{2}{{m}^{2}+1+\frac{4}{{m}^{2}+1}+4}$≤$\frac{2}{2\sqrt{4}+4}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)m²=1，即m=±1時取等號．
∴直線l的方程為：y=$±（x-\sqrt{2}）$．
∴直線l的傾斜角為：45°或135°．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積的不同表示方法、三角形內(nèi)切圓的面積、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．