Question

已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足

b-a

c

=

sinB-sinC

sinB+sinA

，關(guān)于x的不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對任意的x∈R恒成立．
（1）求角A的值；
（2）求f（C）=2sinC•cosB的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由條件利用正弦定理可得b²-a²+c²=bc，再由余弦定理可得cosA的值，可得A的值．
（2）化簡f（C為-sin(2C+

π

3

)+

3

2

，再根據(jù)cosC＞0以及△=16sin²C-24cosC≤0，求得cosC的范圍，可得C的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（C）的范圍．

解答： 解：（1）∵

b-a

c

=

sinB-sinC

sinB+sinA

，由正弦定理可得

b-a

c

=

b-c

b+a

，化簡可得b²-a²+c²=bc．
再由余弦定理可得 cosA=

b2-a2+c2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵f(C)=2sinC•cosB=-sin(2C+

π

3

)+

3

2

，
∵

cosC＞0 △=16sin2C-24cosC≤0

⇒cosC≥

1

2

⇒0＜C≤

π

3

．
∵0＜C≤

π

3

，∴

π

3

＜2C+

π

3

≤π，sin(2C+

π

3

)∈[0，1]，
f(C)∈[-1+

3

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．