Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分別為CD、AB邊上的點，且DE=3，BF=4，將△BCE沿BE折起至△PBE位置（如圖2所示），連結AP、PF，其中PF=2

5

．
（Ⅰ） 求證：PF⊥平面ABED；
（Ⅱ） 在線段PA上是否存在點Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出點Q的位置；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ） 求點A到平面PBE的距離．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結EF，由翻折不變性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知條件，利用勾股定理推導出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能夠證明PF⊥平面ABED．
（Ⅱ） 當Q為PA的三等分點（靠近P）時，FQ∥平面PBE．由已知條件推導出FQ∥BP，即可證明FQ∥平面PBE．
（Ⅲ） 由PF⊥平面ABED，知PF為三棱錐P-ABE的高，利用等積法能求出點A到平面PBE的距離．

解答： （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）連結EF，
由翻折不變性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF²+BF²=20+16=36=PB²，
所以PF⊥BF…（2分）
在圖1中，利用勾股定理，得EF=

62+(12-3-4)2

=

61

，
在△PEF中，EF²+PF²=61+20=81=PE²，
∴PF⊥EF…（4分）
又∵BF∩EF=F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…（6分）
（Ⅱ） 當Q為PA的三等分點（靠近P）時，FQ∥平面PBE．
證明如下：
∵AQ=

2

3

AP，AF=

2

3

AB，
∴FQ∥BP…（8分）
又∵FQ不包含于平面PBE，PB?平面PBE，
∴FQ∥平面PBE．…（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，
∴PF為三棱錐P-ABE的高．…（11分）
設點A到平面PBE的距離為h，
由等體積法得V_A-PBE=V_P-ABE，…（12分）
即

1

3

×S△PBEh=

1

3

×S△ABE•PF，
又S△PBE=

1

2

×6×9=27，S△ABE=

1

2

×12×6=36，
∴h=

S△ABE•PF

S△PBE

=

36×2 5

27

=

8 5

3

，
即點A到平面PBE的距離為

8 5

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的判斷與證明，考查點到平面距離的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，要注意等積法的合理運用．