Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（Ⅰ）“拋物線三角形”一定是

 

三角形（提示：在答題卡上作答）；
（Ⅱ）若拋物線m：y=a（x-2）²+b（a＞0，b＜0）的“拋物線三角形”是直角三角形，求a，b滿足的關系式；
（Ⅲ）如圖，△OAB是拋物線n：y=-x²+tx（t＞0）的“拋物線三角形”，是
否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）“根據(jù)拋物線的對稱性進行判斷；
（Ⅱ）由于拋物線三角形是等腰三角形，則得到本題中的“物線三角形”是等腰直角三角形，再確定拋物線的頂點坐標為（2，b），拋物線與x軸兩交點之間的線段長=2

- b a

，如何根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到|b|=

1

2

×2

- b a

，然后化簡即可得到a與b的關系；
（Ⅲ）作分別作點A，B關于原點O的對稱點C，D，所以四邊形ABCD是平行四邊形，確定A、B兩點坐標，然后根據(jù)關于原點中心的性質(zhì)可確定C點與D點坐標，最后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．

解答： 解：（I））因為拋物線與x軸有兩個交點關于拋物線的對稱軸對稱，
所以“拋物線三角形”是等腰三角形；
故答案為等腰；     …（2分）
（II）設拋物線線與x軸的交點為A，B，當y=a（x-2）²+b=0時，得x=2±

- b a

所以A(2-

- b a ，0

)，B(2+

- b a ，0

)，AB=2

- b a

，…（4分）
又因為拋物線頂點P（2，b）由已知三角形PAB是等腰直角三角形，所以AB=2|y_p|，
所以2

- b a

=2|b|，整理得ab=-1…（6分）
（3）分別作點A，B關于原點O的對稱點C，D，所以四邊形ABCD是平行四邊形，
所以當OA=OB時，四邊形ABCD是矩形，三角形OAB是等邊三角形y=-x2+tx=-(x-

t

2

)2+

t2

4

，
所以A點坐標是(

t

2

，

t2

4

)，
又點B坐標是（t，0），yA=

3

2

|OB|，

t2

4

=

3

2

t，t=2

3

，…（8分）
所以A(

3

，3)，B(2

3

，0)，
所以C(-

3

，-3)，D(-2

3

，0)
設過O、C、D三點的拋物線為y=mx(x+2

3

)，
因為過點C，所以-3=m(-

3

)(-

3

+2

3

)，m=1
所以存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD
所求拋物線的表達式為y=x2+2

3

x． …（10分）

點評：本題考查了拋物線的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定幾何圖形的性質(zhì)和確定點的坐標；會運用等腰直角三角形、等邊三角形和矩形的性質(zhì)建立等量關系，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題．