Question

已知f（x）=log₂（2x-x²），且關(guān)于x的方程2^f（x）=kx+1有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁，x₂．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求k的取值范圍M；
（3）是否存在實(shí)數(shù)n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|對任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的解析式可得2x-x²＞0，由此求得函數(shù)f（x）的定義域．
（2）關(guān)于x的方程2^f（x）=kx+1，即 x² +（k-2）x+1=0．令g（x）=x² +（k-2）x+1，則由題意可得

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

．由此求得k的范圍，可得集合M．
（3）由（2）可得，|x₁-x₂|=

(k-2)2-4

∈（0，

3

2

）．假設(shè)存在實(shí)數(shù)n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|對任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立，則有

n2-n+1≥3 n2+n+1≥3

，由此求得n的范圍，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可得2x-x²＞0，求得0＜x＜2，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，2）．
（2）關(guān)于x的方程2^f（x）=kx+1，即 2x-x² =kx+1，即 x² +（k-2）x+1=0．
令g（x）=x² +（k-2）x+1，則由題意可得

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

．
解得-

1

2

＜k＜0∴M=（-

1

2

，0）．
（3）由（2）可得，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

(k-2)2-4

∈（0，

3

2

）．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|對任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立，
 則有

n2-n+1≥3 n2+n+1≥3

，解得n≤-2，或 n≥2，
故存在實(shí)數(shù)n∈（-∞，-2]∪[2，+∞），使得題中條件成立．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．