Question

已知不等式axy≤4x²+y²對(duì)于∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：不等式axy≤4x²+y²等價(jià)于a≤

4x2+y2

xy

=

4x

y

+

y

x

，設(shè)t=

y

x

，則求出函數(shù)

4x

y

+

y

x

的最小值即可．

解答： 解：不等式axy≤4x²+y²等價(jià)于a≤

4x2+y2

xy

=

4x

y

+

y

x

，設(shè)t=

y

x

，
故a≤

4x

y

+

y

x

的最小值即可．
∵x∈[1，2]及y∈[2，3]，
∴

1

2

≤

1

x

≤1，即 1≤

y

x

≤3，
∴1≤t≤3，
則 

4x

y

+

y

x

=t+

4

t

，
∵t+

4

t

≥2

t× 4 t

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

4

t

，即t=2時(shí)取等號(hào)．
則 

4x

y

+

y

x

的最小值為 4．
∴a≤4．
故答案為：{a|a≤4}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)f（x）=x+

a

x

，a＞0圖象的單調(diào)性以及應(yīng)用．