Question

如圖，已知開口向上的拋物線與x軸分別交于點A（m，0）和B（-3m，0）（其中m＜0），與y軸交于點C（0，-3）．點D在該拋物線上，CD∥AB．

（1）當m=-1時，求該拋物線所表示的函數關系式；
（2）在線段AB上是否存在點E，使得線段ED、BC互相垂直平分？若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）設拋物線的頂點為F，作直線CF交x軸于點G，求證：

FC

CG

=

CD

GB

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出函數的表達式，代入C（0，-3），m=-1，求出即可；
（2）轉化為證明四邊形ECDB是菱形，根據菱形的定義判斷即可；
（3）求出拋物線頂點坐標，從而求出直線FC的方程，解出G點坐標，從而求出比值．

解答： 解：（1）設函數為 y=a（x-m）（x+3m），（m＜0）
∵函數經過C（0，-3），帶入解析式得：-3=-3am²
∵m=-1，∴a=1
∴函數式y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4． 
（2）由（1）可得 A（-1，0）B（3，0）
當y=-3時，x=2或x=0，
∵C（0，-3），
∴D（2，-3）
如果要求ED，CB垂直平分，則就是ECDB為菱形．
就是要在x軸上找到E，使得EC∥DB，且EC=CD
可求出CD=2，BD=

10

，
∴以C，D，B，E為頂點的四邊形是不可能構成菱形的，
所以不可能存在點E滿足題意；
（3）由（1）得，拋物線的頂點F（1，-4），
又C（0，-3），所以CF直線解析式為：y=-x-3．
∴G（-3，0）
CF=

2

，CG=3

2

，CD=2，GB=6．
∴

FC

GC

=

CD

GB

=3．

點評：本題考查了求拋物線的解析式問題，考查了菱形的判定，考查了線段成比例問題，是一道綜合題．