Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=2，G是BC的中點．如圖，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（Ⅰ）求證：BD⊥EG；
（Ⅱ）求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以E為原點，EB為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，欲證BD⊥EG，只需證

BD

•

EG

=0即可；
（Ⅱ）先求出平面DEF的法向量，利用兩平面的法向量求出兩向量的夾角的余弦值，從而得到二面角D-BF-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，EF∥AD，∠AEF=

π

2

，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標系E-xyz．
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G為BC的中點，BC=4，
∴BG=2．則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
∴

BD

=（-2，2，2），

EG

=（2，2，0），
∴

BD

•

EG

=（-2，2，2）•（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG．…（4分）
（Ⅱ）設平面DEF的法向量為

n1

=（x，y，z），
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），∴

BF

=(-2，3，0)，…（6分）

BD

=（-2，2，2），則 

n1 • BD =0 n1 • BF =0

，
即

(x，y，z)•(-2，2，2)=0 (x，y，z)•(-2，3，0)=0

，

-2x+2y+2z=0 -2x+3y=0

取x=3，y=2，z=1，∴

n1

=(3，2，1)
∵AE⊥面BCF，∴面BCF一個法向量為

n2

=(0，0，1)，…（8分）
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2|

=

14

14

，
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為-

14

14

．…（10分）

點評：立幾中對空間的線線、線面、面面關系的考查是主線，在理科生中對空間向量的要求也是課標要求．