Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）證明：當(dāng)，時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)公共點(diǎn)；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù),分離變量可得,構(gòu)造函數(shù),利用求出單調(diào)性可知在的最小值,根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性可討論得零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性和極值情況,可證明．

試題解析：

（1）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù)．

由，令，

則在上單調(diào)遞減，這時(shí)；

在上單調(diào)遞增，這時(shí)．

所以是的極小值即最小值，即

所以函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論如下：

當(dāng)時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)，有1個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)有2個(gè)公共點(diǎn)．

（2）證明：設(shè)，則，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，；在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，

又，，

所以當(dāng)時(shí)，恒有，即，所以在上為減函數(shù)，

所以，

即當(dāng)時(shí)，．