Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（-2，1），且方程f（x）=0有且只有一個(gè)根，求f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閒（-2）=1，得b=2a．由方程f（x）=0有且只有一個(gè)根，即△=b²-4a=0，得a=1，b=2，故可求得f（x）=（x+1）²．
（2）先根據(jù)已知求得g（x）=(x-

k-2

2

)2+1-

(k-2)2

4

，故可由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a．
因?yàn)榉匠蘤（x）=0有且只有一個(gè)根，即△=b²-4a=0．
所以4a²-4a=0．即a=1，b=2．
所以f（x）=（x+1）²．
（2）因?yàn)間（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1
=(x-

k-2

2

)2+1-

(k-2)2

4

．
所以當(dāng) 

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-1時(shí)，即k≥6或k≤0時(shí)，g（x）是單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．