Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，已知．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓相切，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，可得，又，即可求解橢圓的離心率；（2）由（1）知，得到橢圓的方程為，設(shè)出點(diǎn)，可得，進(jìn)而得到，由于點(diǎn)在橢圓上，聯(lián)立得到，解得，利用中點(diǎn)公式和兩點(diǎn)間的距離公式，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）設(shè)橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，可得．

又，則，所以橢圓的離心率．

（2）由（1）知，故橢圓的方程為，

設(shè)，由，有，

由已知，有，即，又，故有． ①

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．②

由 ①和②可得，而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，故，

代人①得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)圓的圓心為，

則，進(jìn)而圓的半徑，

設(shè)直線的斜率為，依題意，直線的方程．由與圓相切，可得，

即，整理得，解得，

所以直線的斜率為或．