Question

已知F₁F₂是橢圓

x2

9

+

y2

5

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，△AF₁F₂的周長(zhǎng)為10，橢圓的離心率為

2

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若弦AB過右焦點(diǎn)F₂交橢圓于B，且△F₁AB的面積為5，求弦AB的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用△AF₁F₂的周長(zhǎng)為10，橢圓的離心率為

2

3

，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）法㈠分類討論，設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出面積，利用△F₁AB的面積為5，即可求弦AB的直線方程；法㈡：設(shè)直線AB方程為x=ty+2與橢圓方程聯(lián)立，求出面積，利用△F₁AB的面積為5，即可求弦AB的直線方程．

解答： 解：（1）由題意知：

2a+2c=10 e= c a = 2 3

，
解得a=3，c=2，∴b=

5

．
∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

5

=1…（5分）
（2）法㈠當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=2

x2 9 + y2 5 =1 x=2

聯(lián)立解得：A(2，

5

3

)，B(2，-

5

3

)，
∴|AB|=

10

3

，
∴S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|AB|=

1

2

•4•

10

3

=

20

3

不合題意，舍去．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），

x2 9 + y2 5 =1 y=k(x-2)

，聯(lián)立（9k²+5）y²+20ky-25k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得：y1+y2=-

20k

9k2+5

，y1•y2=

-25k2

9k2+5

．…（8分）S△F1AB=S△F1F2A+S△F1F2B=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=

1

2

2c•|y1-y2|=5
∴|y1-y2|=

5

2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

5

2

=

400k2 (9k2+5)2 -4• -25k2 9k2+5

=10

k2 (9k2+5)2 + k2•(9k2+5) (9k2+5)2

，
∴63k⁴+54k²-25=0，∴k²=

1

3

，k²=-

25

21

（舍去），∴k=±

3

3

，
∴弦AB所在的直線方程x-

3

y-2=0或x+

3

y-2=0．…（12分）
法㈡：設(shè)直線AB方程為x=ty+2（t∈R），
直線方程和橢圓方程聯(lián)立

x2 9 + y2 5 =1 x=ty+2

，
消去x，（9+5t²）y²+20ty-25=0設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得：y1+y2=

-20t

9+5t2

，y1•y2=

-25

9+5t2

．…（7分）S△F1AB=S△F1F2A+S△F1F2B=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=

1

2

2c•|y1-y2|=5．
∴|y1-y2|=

5

2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

400t2 (9+5t2)2 -4 -25 9+5t2

=

400t2 (9+5t2)2 + 100(9+5t2) (9+5t2)2

=30

1+t2

9+5t2

兩邊平方：25t⁴-54t²-63=0，
∴（25t²+21t²）（t²-3）=0，∴t=±

3

．
∴弦AB所在的直線方程x-

3

y-2=0或x+

3

y-2=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．