Question

如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，PB=PD=2

2

，點(diǎn)E在PD上，且PE=

1

3

PD．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC上存在點(diǎn)F，使PF∥平面EAC，并求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的性質(zhì),直線與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥AB，PA⊥AD，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．
（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)F∈BC，使PF∥平面EAC，利用向量法能求出存在點(diǎn)F（2，1，0）為BC的中點(diǎn)，即BF=1．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=AB=2，PB=2

2

，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB，同理PA⊥AD，（2分）
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．（4分）
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，

2

3

，

4

3

），（6分）
平面ACD的法向量為

AP

=（0，0，2），
設(shè)平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），（7分）
∵

AC

=（2，2，0），

AE

=（0，

2

3

，

4

3

），
∴

n • AC =2x+2y=0 n • AE = 2 3 y+ 4 3 z=0

，
取x=2，得

n

=（2，-2，1），（8分）
設(shè)二面角E-AC-D的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

n

，

AP

＞=

2

2× 9

=

1

3

，
∴二面角E-AC-D的余弦值為

1

3

．（10分）
（Ⅲ）證明：假設(shè)存在點(diǎn)F∈BC，使PF∥平面EAC，
令F（2，a，0），（0≤a≤2），（12分）
∴

PF

=（2，a，-2），由PF∥平面EAC，
∴

PF

•

n

=0，解得a=1，
∴存在點(diǎn)F（2，1，0）為BC的中點(diǎn)，即BF=1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．