Question

已知函數(shù)f（x）=1-

2

5x+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若af（x）≥1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f(x)+f(-x)=1-

2

5x+1

+1-

2

5-x+1

=0可知，f（x）為奇函數(shù)．
（2）將不等式af（x）≥1化簡(jiǎn)為a≥

5x+1

5x-1

=1+

2

5x-1

．根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）在∈[1，+∞）上的最大值，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，
原因如下：
∵f(x)+f(-x)=1-

2

5x+1

+1-

2

5-x+1

=2-

2

5x+1

+

2×5x

1+5x

=0
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）∵af（x）≥1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
即a(1-

2

5x+1

)≥1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立．
∴a≥

5x+1

5x-1

=1+

2

5x-1

．
又∵f（x）=1+

2

5x+1

在x∈[1，+∞）上位單調(diào)遞減函數(shù)．
∴a≥f（1）=

3

2

．
∴a的取值范圍是[

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判定以，分離常數(shù)法求函數(shù)最值以及恒成立問題的處理技巧，屬于中檔題．