Question

在平面直角坐標系中，曲線y=x²+2x-3與坐標軸的交點都在圓C上，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）如果圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（I）求出曲線y=x²+2x-3與坐標軸的三個交點E、F、D的坐標，從而設(shè)出圓心C的坐標，根據(jù)|EC|=|FC|利用兩點間的距離公式列式，算出圓心為C（-1，-1），進而得出半徑，可得圓C的方程；
（II）先設(shè)點A，B的坐標，根據(jù)OA⊥OB得到兩點坐標之間的關(guān)系，然后聯(lián)立直線與圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再由韋達定理得到兩根之和與兩根之積后代入所求的關(guān)系式，即可得到實數(shù)a的值．

解答： 解：（I）曲線y=x²+2x-3與y軸的交點為E（0，-3），與x軸的交點為F（1，0）、D（-3，0）
∵線段FD的垂直平分線為x=-1，
∴設(shè)圓C的圓心為（-1，b），
由|EC|=|FC|，得（0+1）²+（-3-b）²=（1+1）²+b²，解得b=-1．
由此可得圓心C（-1，-1），
圓C的半徑r=

(1-0)2+(-1+3)2

=

5

，
因此，圓C的方程為（x+1）²+（y+1）²=5．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
圓C與直線x-y+a=0聯(lián)立可得2x²+2（a+2）x+a²+2a-23=0，
∴x₁+x₂=-a-2，x₁x₂=

a2+2a-3

2

，
∴y₁y₂=（x₁+a）（x₂+a）=

a2-2a-3

2

，
∴a=±

3

．

點評：本題著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．