Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-ax-bxcosx（a∈R，b∈R）．
（1）若b=0，討論函數(shù)f（x）在區(qū)（0，π）上的單調(diào)性；
（2）若a=2b且a≥

2

3

，對(duì)任意的x＞0，試比較f（x）與0的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）問中，分a≥1，a≤-1，-1＜a＜1進(jìn)行討論；
（2）中引進(jìn)新函數(shù)g（x），將問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的單調(diào)性問題．

解答： 解：（1）b=0時(shí)，f（x）=sinx-ax，則f′（x）=cosx-a，
當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，存在θ∈（0，π），使得cosθ=a，即f（θ）=0，
①x∈（0，θ）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，θ）上單調(diào)遞增，
②x∈（θ，π）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（θ，π）上單調(diào)遞減．
（2）a=2b時(shí)，f（x）=sinx-

a

2

x（2+cosx），猜測(cè)f（x）＜0恒成立，
證明：f（x）＜0等價(jià)于

sinx

2+cosx

＜

a

2

x，
令g（x）=

sinx

2+cosx

-

a

2

x，
則g（x）=

2cosx+1

(2+cosx)2

-

a

2

=-3(

1

2+cosx

-

1

3

)2-

a

2

+

1

3

，
當(dāng)

a

2

≥

1

3

，即a≥

2

3

時(shí)，g′（x）≤0，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜0恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題，解題過程中用到了分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想．