Question

如圖，半徑為30cm的圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），設OB與矩形材料的邊OA的夾角為θ，圓柱的體積為Vcm³．
（Ⅰ）求V關于θ的函數(shù)關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積V的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知條件尋找數(shù)量間的等式關系，由此能求出圓柱的體積V關于θ的函數(shù)關系式．
（Ⅱ）令t=sinθ，t∈（0，1），cos²θ=1-t²，f（t）=

6750(t-t3)

π

，t∈（0，1），f′(x)=

6750(1-3t2)

π

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出體積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵半徑為30cm的圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料OABC，
設OB與矩形材料的邊OA的夾角為θ，圓柱的體積為V cm³．
∴V（θ）=

303cos2θsinθ

4π

=

6750cos2θsinθ

π

，0＜θ＜

π

2

．
（Ⅱ）令t=sinθ，t∈（0，1），cos²θ=1-t²，
∴f（t）=

6750(t-t3)

π

，t∈（0，1），
∴f′(x)=

6750(1-3t2)

π

，
由f′（t）=0，得t=

3

3

，或t=-

3

3

（舍），
由f′（t）＞0，得0＜t＜

3

3

；由f′（t）＜0，得

3

3

＜t＜1．
∴f（x）在（0，

3

3

）上單調(diào)遞增，在（

3

3

，1）上單調(diào)遞減，
即當t=

3

3

時，體積V取得最大值V_max=

1500 3

π

cm³．

點評：本題考查V關于θ的函數(shù)關系式的求法，考查函數(shù)的定義域的求法，考查圓柱形罐子體積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．