Question

3．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，則向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|得出|$\overrightarrow{a}$|與|$\overrightarrow$|的關(guān)系，代入夾角公式即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=4$\overrightarrow{a}$²，即$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴${\overrightarrow}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$，∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|．
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow}^{2}}{2|\overrightarrow{a}|•\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|}$=-$\frac{3{\overrightarrow{|a}|}^{2}}{2\sqrt{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴θ=$\frac{5π}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，求出|$\overrightarrow{a}$|與|$\overrightarrow$|的關(guān)系是關(guān)鍵．