Question

【題目】已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)， ， ，且對(duì)任意恒成立，記的前項(xiàng)和為.

（1）若，求的值；

（2）證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)， 成等比數(shù)列；

（3）是否存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.若存在，求出此時(shí)和的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）存在使數(shù)列為等比數(shù)列，此時(shí)， .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)， ，且對(duì)任意恒成立，代值計(jì)算即可．

（2）a1=1，a2=2，且anan+3=an+1an+2對(duì)任意n∈N*恒成立，則可得，從而的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等比數(shù)列，即可證明，

（3）在（2）中令，則數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，從而得到， ．又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，解得，∴， ，∴求出此時(shí)和的表達(dá)式.

試題解析：

解：（1）∵，∴，又∵，∴；

（2）由，兩式相乘得，

∵，∴，

從而的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等比數(shù)列，

設(shè)公比分別為，則， ，

又∵，∴，即，

設(shè)，則，且恒成立，

數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，問(wèn)題得證；

（3）在（2）中令，則數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，

∴

，

且， ， ， ，

∵數(shù)列為等比數(shù)列，∴

即即

解得（舍去），

∴， ，

從而對(duì)任意有，

此時(shí)， 為常數(shù)，滿(mǎn)足成等比數(shù)列，

當(dāng)時(shí)， ，又，∴，

綜上，存在使數(shù)列為等比數(shù)列，此時(shí)， .