Question

19．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）求CD與平面AOB所成角的正弦的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意，得出二面角B-AO-C是直二面角，再證出CO⊥平面AOB，即可得到平面COD⊥平面AOB；
（II）根據(jù)CO⊥平面AOB得∠CDO是CD與平面AOB所成的角，當(dāng)CD最小時(shí)，∠CDO的正弦值最大，求出最大值即可．

解答 解：（I）證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角；
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB；
（II）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角；
在Rt△CDO中，CO=BO=ABsin$\frac{π}{6}$=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴sin∠CDO=$\frac{CO}{CD}$=$\frac{2}{CD}$；
當(dāng)CD最小時(shí)，sin∠CDO最大，
此時(shí)OD⊥AB，垂足為D，
由三角形的面積相等，得
$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{{AB}^{2}{-（\frac{BC}{2}）}^{2}}$，
解得CD=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}}{4}$=$\sqrt{7}$，
∴CD與平面AOB所成角的正弦的最大值為$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面與平面垂直的判定以及直線與平面所成的角的計(jì)算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．